1031.

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = \left\{\frac{1 - \sqrt{2}\sin \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{\pi } - 4\mathrm{x}} \mathrm{if} \mathrm{x} \ne \frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ \mathrm{a} \mathrm{if} \mathrm{x} = \frac{\mathrm{\pi }}{4}\right\} \\ \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \frac{\mathrm{\pi }}{4}, \mathrm{then} \mathrm{a} \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to} : \end{gathered}$$

• 4

• 2

• 1

• $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.$

$\mathrm{If} \mathrm{u} = {\sin }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2}{\mathrm{x} + \mathrm{y}}\right) \mathrm{then} \mathrm{x}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{x}} + \mathrm{y}\frac{\partial \mathrm{u}}{\partial \mathrm{y}} \mathrm{is}$

• sin(u)

• tan(u)

• cos(u)

• cot(u)

$\mathrm{If} \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) = \frac{\cos \left(\mathrm{x} - 4\mathrm{y}\right)}{\cos \left(\mathrm{x} + 4\mathrm{y}\right)}, \mathrm{then} {\frac{\partial \mathrm{f}}{\partial \mathrm{x}}}_{\mathrm{y} = \frac{\mathrm{x}}{2}} \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to}$

• - 1

• 0

• 1

• 2

$\mathrm{y} = \log \left({\left\{\frac{1 +\hspace{0.17em}\mathrm{x}}{1 - \mathrm{x}}\right\}}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.}\right) - \frac{1}{2}{\tan }^{-1}\left(\mathrm{x}\right), \mathrm{then} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to}$

• $\frac{\mathrm{x}}{1 - {\mathrm{x}}^2}$

• $\frac{{\mathrm{x}}^2}{1 - {\mathrm{x}}^4}$

• $\frac{\mathrm{x}}{1 +\hspace{0.17em}{\mathrm{x}}^4}$

• $\frac{\mathrm{x}}{1 - {\mathrm{x}}^4}$

$\mathrm{x} = \cos \left(\mathrm{\theta }\right), \mathrm{y} = \sin \left(5\mathrm{\theta }\right) \Rightarrow \left(1 - {\mathrm{x}}^2\right)\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{{\mathrm{dx}}^2} - \mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}} \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to}$

• - 5y

• 5y

• 25y

• - 25y

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \mathrm{f} : \mathrm{R} \to \mathrm{R} \mathrm{is} \mathrm{defined} \mathrm{by} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = \left\{\frac{\cos \left(3\mathrm{x}\right) - \cos \left(\mathrm{x}\right)}{{\mathrm{x}}^2}, \mathrm{for} \mathrm{x} \ne 0 \\ \mathrm{\lambda }, \mathrm{for} \mathrm{x} = 0\right\} \\ \mathrm{and} \mathrm{if} \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} \mathrm{x} = 0, \mathrm{then} \mathrm{\lambda } = ? \end{gathered}$$

• - 2

• - 4

• - 6

• - 8

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \mathrm{f}\left(2\right) = 4 \mathrm{and} \mathrm{f}\text{'}\left(2\right) = 1, \mathrm{then} \\ \underset{\mathrm{x}\to 2}{\lim }\frac{\mathrm{xf}\left(2\right) - 2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x} - 2} = ? \end{gathered}$$

• - 2

• 1

• 2

• 3

If $\mathrm{y} = \sin \left({\log }_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{x}\right)\right)$, then ${\mathrm{x}}^2\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{y}}{{\mathrm{dx}}^2} + \mathrm{x}\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}$ is equal to

• $\mathrm{y} = \sin \left({\log }_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{x}\right)\right)$

• $\cos \left({\log }_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{x}\right)\right)$

• y²

• - y

If z = ${\sec }^{-1}\left(\frac{{\mathrm{x}}^4 + {\mathrm{y}}^4 - 8{\mathrm{x}}^2{\mathrm{y}}^2}{{\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2}\right)$, then $\mathrm{x}\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}} + \mathrm{y}\frac{\partial \mathrm{z}}{\partial \mathrm{y}}$ is equal to

• $\cot \left(\mathrm{z}\right)$

• $2\cot \left(\mathrm{z}\right)$

• $2\tan \left(\mathrm{z}\right)$

• $2\sec \left(\mathrm{z}\right)$

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \mathrm{f} : \mathrm{R} \to \mathrm{R} \mathrm{is} \mathrm{defined} \mathrm{by} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = \left\{\frac{2\sin \left(\mathrm{x}\right) - \sin \left(2\mathrm{x}\right)}{2\mathrm{xcos}\left(\mathrm{x}\right)}, \mathrm{if} \mathrm{x} \ne 0, \\ \mathrm{a} , \mathrm{if} \mathrm{x} = 0\right\}, \\ \mathrm{then} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{a} \mathrm{so} \mathrm{that} \mathrm{f} \mathrm{is} \mathrm{continuous} \mathrm{at} 0 \mathrm{is} \end{gathered}$$

• 2

• 0

• 1

• 2