$\mathrm{If} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right) = {\int }_{- \mathrm{t}}^{\mathrm{t}}\frac{{\mathrm{e}}^{- \left|\mathrm{x}\right|}}{2}\mathrm{dx}, \mathrm{then} \underset{\mathrm{t}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right) = ?$

• 1

• $\frac{1}{2}$

• 0

• - 1

${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\sin }^6\left(\mathrm{x}\right){\cos }^5\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} = ?$

• $2\mathrm{\pi }$

• $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$

• 0

• $- \mathrm{\pi }$

If $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{1 - \sin \left(\mathrm{x}\right)}{1 - \cos \left(\mathrm{x}\right)}\right)\mathrm{dx} = \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) + \mathrm{constant}$, then f(x) is equal to

• ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cot \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{c}$

• ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\cot \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{c}$

• $- {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cot \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{c}$

• $- {\mathrm{e}}^{- \mathrm{x}}\cot \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{c}$

If I_n = $\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{cx}}\mathrm{dx}$ for n $\ge$ 1, then cI_n + n . I_{n - 1} is equal to

• xⁿe^cx

• xⁿ

• e^cx

• xⁿ + e^cx

If $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(1 + \mathrm{x}\right) . {\sec }^2\left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}$ = f(x) + constant, then f(x) is equal to

• $\cos \left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)$

• $\sin \left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)$

• $2{\tan }^{-1}\left(\mathrm{x}\right)$

• $\tan \left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)$

${\int }_0^1{\mathrm{x}}^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\sqrt{1 - \mathrm{x}}\mathrm{dx}$ is equal to

• $\frac{\mathrm{\pi }}{6}$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{9}$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{12}$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{16}$

947.

${\int }_{- \raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\sin \left|\mathrm{x}\right|\mathrm{dx}$ is equal to

• 0

• 1

• 2

• $\mathrm{\pi }$

$\int \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x} + 1\right)\sqrt{4\mathrm{x} + 3}} = ?$

• ${\text{tan}}^{-1}\left(\sqrt{4x + 3}\right) + c$

• $3{\tan }^{-1}\left(\sqrt{4\mathrm{x} + 3}\right) +\hspace{0.17em}\mathrm{c}$

• $2{\tan }^{-1}\left(\sqrt{4\mathrm{x} + 3}\right) + \mathrm{c}$

• $4{\tan }^{-1}\left(\sqrt{4\mathrm{x} + 3}\right) + \mathrm{c}$

$\int \left(\frac{2 - \sin \left(2\mathrm{x}\right)}{1 - \cos \left(2\mathrm{x}\right)}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\mathrm{dx} = ?$

• $- \cot \left(\mathrm{x}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} +\hspace{0.17em}\mathrm{c}$

• $cot\left(x\right) e^x +\hspace{0.17em}c$

• $2\cot \left(\mathrm{x}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} + \mathrm{c}$

• $- 2\cot \left(\mathrm{x}\right) {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} + \mathrm{c}$

$\mathrm{If} {\mathrm{I}}_{\mathrm{n}} = \int {\sin }^{\mathrm{n}}\mathrm{xdx}, \mathrm{then} {\mathrm{nI}}_{\mathrm{n}} - \left(\mathrm{n} - 1\right){\mathrm{I}}_{\mathrm{n} - 2} = ?$

• ${\sin }^{\mathrm{n} - 1}\left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right)$

• ${\cos }^{\mathrm{n} - 1}\left(\mathrm{x}\right)\sin \left(\mathrm{x}\right)$

• $- {\sin }^{\mathrm{n} - 1}\left(\mathrm{x}\right)\cos \left(\mathrm{x}\right)$

• $- {\cos }^{\mathrm{n} - 1}\left(\mathrm{x}\right)\sin \left(\mathrm{x}\right)$