$\mathrm{Evaluate} {\int }_{ - \mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\left|\mathrm{\pi } - \left|\mathrm{x}\right|\right|d\mathrm{x}$

• ${\mathrm{\pi }}^2$

• $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{2}$

• $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{3}$

• $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}$

$\left(2^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.} + 5^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$8$}\right.}\right) \mathrm{has} \mathrm{integral} \mathrm{terms} \mathrm{find} \mathrm{least} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{n} \mathrm{is}$

• 256

• 257

• 258

• 259

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \int {\sin }^{-1}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{x}}{1 + \mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx} = \mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right){\tan }^{-1}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right) + \mathrm{Bx} + \mathrm{C}, \mathrm{where} \mathrm{C} \mathrm{is} \mathrm{a} \mathrm{constant} \\ \mathrm{of} \mathrm{integration}, \mathrm{then} \mathrm{ordered} \mathrm{pair} \left(\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}\right)\right) \mathrm{can} \mathrm{be} : \end{gathered}$$

• $\left(\mathrm{x} - 1, \sqrt{\mathrm{x}}\right)$

• $\left(\mathrm{x} - 1, - \sqrt{\mathrm{x}}\right)$

• $\left(\mathrm{x} + 1, \sqrt{\mathrm{x}}\right)$

• $\left(\mathrm{x} + 1, - \sqrt{\mathrm{x}}\right)$

$\mathrm{If} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{integral} {\int }_0^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\left(1 - {\mathrm{x}}^2\right)}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}\mathrm{dx} \mathrm{x} = \sin \left(\mathrm{\theta }\right); \mathrm{dx} = \cos \left(\mathrm{\theta }\right)\mathrm{d\theta }$

• $2\sqrt{3} + \mathrm{\pi }$

• $2\sqrt{3} - \mathrm{\pi }$

• $3\sqrt{2} + \mathrm{\pi }$

• $3\sqrt{2} - \mathrm{\pi }$

The total number of 3-digit numbers, whose sum of digits is 10, is.......

$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \mathrm{S} \mathrm{be} \mathrm{the} \mathrm{set} \mathrm{of} \mathrm{all} \mathrm{integer} \mathrm{solutions}, (\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}), \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{system} \mathrm{of} \mathrm{equations} \\ \mathrm{x} – 2\mathrm{y} + 5\mathrm{z} = 0 \\ – 2\mathrm{x} + 4\mathrm{y} + \mathrm{z} = 0 \\ – 7\mathrm{x} + 14\mathrm{y} + 9\mathrm{z} = 0 \\ \mathrm{Such} \mathrm{that} 15 < {\mathrm{x}}^2 + {\mathrm{y}}^2 + {\mathrm{z}}^2 < 150. \mathrm{Then}, \mathrm{the} \mathrm{number} \mathrm{of} \mathrm{elements} \mathrm{in} \mathrm{the} \mathrm{set} \\ \mathrm{S} \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to}. \end{gathered}$$

1007.

$$\begin{gathered} \mathrm{Let} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = \left|\mathrm{x} - 2\right| \mathrm{and} \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) = \mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right), \mathrm{x} \in \left[0, 4\right]. \mathrm{Then} \\ {\int }_0^3\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right) - \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)d\mathrm{x} = ? \end{gathered}$$

• 0

• $\frac{1}{2}$

• $\frac{3}{2}$

• 1

$\mathrm{The} \mathrm{integral} \int {\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{x}\right) + \cos \left(\mathrm{x}\right)}\right)}^2\mathrm{dx} = ? \left(\mathrm{Where} \mathrm{Cis} \mathrm{a} \mathrm{constant} \mathrm{of} \mathrm{integration}\right) :$

• $\tan \left(\mathrm{x}\right) + \frac{\mathrm{xsec}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{x}\right) + \cos \left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{C}$

• $\tan \left(\mathrm{x}\right) - \frac{\mathrm{xsec}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{x}\right) + \cos \left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{C}$

• $\sec \left(\mathrm{x}\right) + \frac{\mathrm{xtan}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{x}\right) + \cos \left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{C}$

• $\sec \left(\mathrm{x}\right) - \frac{\mathrm{xsec}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{x}\right) + \cos \left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{C}$

Let [t] denote the greatest integer $\le$ t. Then the equation in x, [x]² + 2[x + 2] – 7 = 0 has :

• no integral solution

• infinitely many solutions

• exactly two solutions

• exactly four integral solutions

$\mathrm{Let} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) = \int \frac{\sqrt{\mathrm{x}}}{{\left(1 + \mathrm{x}\right)}^2}\mathrm{dx} \left(\mathrm{x} \ge 0\right). \mathrm{Then} \mathrm{f}\left(3\right) - \mathrm{f}\left(1\right) = ?$

• $- \frac{\mathrm{\pi }}{6} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

• $- \frac{\mathrm{\pi }}{12} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{12} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{6} + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$