${\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.} \frac{\mathrm{dx}}{1 + {\tan }^3\left(\mathrm{x}\right)} = ?$

• $\mathrm{\pi }$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

• $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

${\int }_{- 1}^1 \frac{\cos \left(\mathrm{hx}\right)}{1 +\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}}}d\mathrm{x} = ?$

• 0

• 1

• $\frac{{\mathrm{e}}^2 - 1}{2\mathrm{e}}$

• $\frac{{\mathrm{e}}^2 + 2}{2\mathrm{e}}$

$\mathrm{If} \int \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} - 1}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} + 1}\mathrm{dx} = \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) + \mathrm{c}, \mathrm{then} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to}$

• $2\log \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} - 1\right)$

• $2\log \left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}} - 1\right)$

• $2\log \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} + 1\right) - \mathrm{x}$

• $2\log \left({\mathrm{e}}^{2\mathrm{x}} + 1\right)$

$\int {\tan }^{-1}\left(\sqrt{\frac{1 - \mathrm{x}}{1 + \mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx} = ?$

• $\frac{1}{2}\left({\mathrm{xcos}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right) - \sqrt{1 - {\mathrm{x}}^2}\right) +\hspace{0.17em}\mathrm{c}$

• $\frac{1}{2}\left({\mathrm{xcos}}^{-1}\left(\mathrm{x}\right) + \sqrt{1 - {\mathrm{x}}^2}\right) +\hspace{0.17em}\mathrm{c}$

• $\frac{1}{2}\left(x{\sin }^{-1}\left(\mathrm{x}\right) - \sqrt{1 - {\mathrm{x}}^2}\right) +\hspace{0.17em}\mathrm{c}$

• $\frac{1}{2}\left(x{\sin }^{-1}\left(\mathrm{x}\right) + \sqrt{1 - {\mathrm{x}}^2}\right) +\hspace{0.17em}\mathrm{c}$

$\frac{\sin \left(\mathrm{x}\right) + 8\cos \left(\mathrm{x}\right)}{4\sin \left(\mathrm{x}\right) + 6\cos \left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} = ?$

• $\mathrm{x} + \frac{1}{2}\log \left(4\sin \left(\mathrm{x}\right) + 6\cos \left(\mathrm{x}\right)\right) + \mathrm{c}$

• $2\mathrm{x} + \log \left(2\sin \left(\mathrm{x}\right) + 3\cos \left(\mathrm{x}\right)\right) + \mathrm{c}$

• $\mathrm{x} + \log \left(2\sin \left(\mathrm{x}\right) + 3\cos \left(\mathrm{x}\right)\right) + \mathrm{c}$

• $\frac{1}{2}\log \left(4\sin \left(\mathrm{x}\right) + 6\cos \left(\mathrm{x}\right)\right) + \mathrm{c}$

$\mathrm{If} \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right) = {\int }_{- \mathrm{t}}^{\mathrm{t}}\frac{{\mathrm{e}}^{- \left|\mathrm{x}\right|}}{2}\mathrm{dx}, \mathrm{then} \underset{\mathrm{t}\to \infty }{\lim }\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right) = ?$

• 1

• $\frac{1}{2}$

• 0

• - 1

${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}{\sin }^6\left(\mathrm{x}\right){\cos }^5\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} = ?$

• $2\mathrm{\pi }$

• $\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$

• 0

• $- \mathrm{\pi }$

If $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{1 - \sin \left(\mathrm{x}\right)}{1 - \cos \left(\mathrm{x}\right)}\right)\mathrm{dx} = \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) + \mathrm{constant}$, then f(x) is equal to

• ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cot \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{c}$

• ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\cot \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{c}$

• $- {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\cot \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{c}$

• $- {\mathrm{e}}^{- \mathrm{x}}\cot \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{c}$

If I_n = $\int {\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{cx}}\mathrm{dx}$ for n $\ge$ 1, then cI_n + n . I_{n - 1} is equal to

• xⁿe^cx

• xⁿ

• e^cx

• xⁿ + e^cx

If $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(1 + \mathrm{x}\right) . {\sec }^2\left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}$ = f(x) + constant, then f(x) is equal to

• $\cos \left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)$

• $\sin \left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)$

• $2{\tan }^{-1}\left(\mathrm{x}\right)$

• $\tan \left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)$