For any integer n $\ge$ 2, let I_n = $\int$tanⁿ(x)dx. If  ${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}} = \frac{1}{\mathrm{a}}{\tan }^{\mathrm{n} - 1}\left(\mathrm{x}\right) - {\mathrm{bI}}_{\mathrm{n} - 2} \mathrm{for} \mathrm{n}\ge 2,$ then the ordered par (a, b) equals to

• $\left(\mathrm{n} - 1, \frac{\mathrm{n} - 1}{\mathrm{n} - 2}\right)$

• $\left(\mathrm{n} - 1, \frac{\mathrm{n} - 2}{\mathrm{n} - 1}\right)$

• (n, 1)

• (n - 1, 1)

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \frac{\left({\mathrm{x}}^2 - 1\right)}{{\left(\mathrm{x} + 1\right)}^2\sqrt{\mathrm{x}\left({\mathrm{x}}^2 + \mathrm{x}\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}1\right)}}\mathrm{dx} \\ = {\mathrm{Atan}}^{-1}\left(\sqrt{\frac{{\mathrm{x}}^2 + \mathrm{x} +\hspace{0.17em}1}{\mathrm{x}}}\right) \mathrm{C}, \mathrm{in} \mathrm{which} \mathrm{C} \mathrm{is} \mathrm{a} \mathrm{constant}, \mathrm{then} \mathrm{A} =? \end{gathered}$$

• $\frac{1}{2}$

• 3

• 2

• 1

$$\begin{gathered} \mathrm{By} \mathrm{the} \mathrm{defination} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{definite} \mathrm{integral}, \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \\ \underset{\mathrm{n}\to \infty }{\lim }\left(\frac{1^4}{1^5 +\hspace{0.17em}{\mathrm{n}}^5} + \frac{2^4}{2^5 + {\mathrm{n}}^5} + \frac{3^4}{3^5 + {\mathrm{n}}^6} + ... + \frac{{\mathrm{n}}^4}{{\mathrm{n}}^5 + {\mathrm{n}}^5}\right) \mathrm{is} \end{gathered}$$

• $\log \left(2\right)$

• $\frac{1}{5}\log \left(2\right)$

• $\frac{1}{4}\log \left(2\right)$

• $\frac{1}{3}\log \left(2\right)$

${\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$6$}\right.}{\cos }^4\left(3\mathrm{\theta }\right) . {\sin }^2\left(6\mathrm{\theta }\right)\mathrm{d\theta } = ?$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{96}$

• $\frac{5}{192}$

• $\frac{5\mathrm{\pi }}{256}$

• $\frac{5\mathrm{\pi }}{192}$

$\int \frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x} - 1\right)\sqrt{{\mathrm{x}}^2 - 1}}$ is equal to

• $- \sqrt{\frac{\mathrm{x} - 1}{\mathrm{x} + 1}} + \mathrm{C}$

• $\sqrt{\frac{\mathrm{x} - 1}{{\mathrm{x}}^2 + 1}} + \mathrm{C}$

• $- \sqrt{\frac{\mathrm{x} + 1}{\mathrm{x} - 1}} + \mathrm{C}$

• $\sqrt{\frac{{\mathrm{x}}^2 + 1}{\mathrm{x} - 1}} + \mathrm{C}$

$\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\frac{{\mathrm{x}}^2 + 1}{{\left(\mathrm{x} + 1\right)}^2}\mathrm{dx}$ is equal to

• $\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x} + 1} + \mathrm{C}$

• $\frac{- {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{\mathrm{x} + 1} + \mathrm{C}$

• ${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{x} - 1}{\mathrm{x} + 1}\right) + \mathrm{C}$

• $e^{\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{x} + 1}{\mathrm{x} - 1}\right) + \mathrm{C}$

$\int \frac{\mathrm{x} + 1}{\mathrm{x}\left(1 + {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)}\mathrm{dx}$ is equal to

• $\log \left|\frac{1 + {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}}\right| + \mathrm{C}$

• $\log \left|\frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}}{1 + {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}}\right| + \mathrm{C}$

• $\log \left|{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\left(1 + {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right)\right| + \mathrm{C}$

• $\log \left|1 + {\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}\right| + \mathrm{C}$

$\int \frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) - \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}\left[\mathrm{logg}\left(\mathrm{x}\right) - \log \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]\mathrm{dx}$ is equal to

• $\log \left[\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right] + \mathrm{C}$

• $\frac{1}{2}{\left[\log \left(\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)\right]}^2 + \mathrm{C}$

• $\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\left[\log \left(\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)\right] + \mathrm{C}$

• $\left[\log \left(\frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\right)\right] - \frac{\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)} + \mathrm{C}$

${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\sin \left(\mathrm{x}\right) + \cos \left(\mathrm{x}\right)}{3 + \sin \left(2\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} = ?$

• $\frac{1}{2}\log \left(3\right)$

• $\log \left(2\right)$

• log(3)

• $\frac{1}{4}\log \left(3\right)$

${\int }_{- 1}^1\frac{\sqrt{1 + \mathrm{x} + {\mathrm{x}}^2} - \sqrt{1 - \mathrm{x} + {\mathrm{x}}^2}}{\sqrt{1 + \mathrm{x} + {\mathrm{x}}^2} + \sqrt{1 - \mathrm{x} + {\mathrm{x}}^2}}\mathrm{dx} = ?$

• $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

• 0

• - 1