If f(x) is defined [- 2, 2] by f(x) = 4 - 3x + 1 and g(x) = $\frac{\mathrm{f}\left(- \mathrm{x}\right) - \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)}{{\mathrm{x}}^2 + 3}$, then ${\int }_{- 2}^2\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ is equal to :

• 64

• - 48

• 0

• 24

The value of the integral ${\int }_0^{\raisebox{1ex}{$\mathrm{\pi }$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\left({\sin }^{100}\left(\mathrm{x}\right) - {\cos }^{100}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}$ is

• $\frac{1}{100}$

• $\frac{100!}{{\left(100\right)}^{100}}$

• $\frac{\mathrm{\pi }}{100}$

• 0

If k${\int }_0^1\mathrm{x} . \mathrm{f}\left(3\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} = {\int }_0^3\mathrm{t} . \mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}$, then the value of k is

• 9

• 3

• $\frac{1}{9}$

• $\frac{1}{3}$

The value of $\int \frac{1}{1 + \cos \left(8\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$ is

• $\frac{\tan \left(2\mathrm{x}\right)}{8} + \mathrm{c}$

• $\frac{\tan \left(8\mathrm{x}\right)}{8} + \mathrm{c}$

• $\frac{\tan \left(4\mathrm{x}\right)}{4} + \mathrm{c}$

• $\frac{\tan \left(4\mathrm{x}\right)}{8} + \mathrm{c}$

The value of $\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left({\mathrm{x}}^5 + 5{\mathrm{x}}^4 + 1\right)\mathrm{dx}$ is

• e^x . x⁵ + c

• e^x . x⁵ + e^x + c

• e^{x + 1} . x⁵ + c

• 5x⁴ . e^x + c

The value of $\int \frac{{\mathrm{x}}^2 + 1}{{\mathrm{x}}^2 - 1}\mathrm{dx}$ is

• $\log \left(\frac{\mathrm{x} - 1}{\mathrm{x} + 1}\right) + \mathrm{c}$

• $\log \left(\frac{\mathrm{x} + 1}{\mathrm{x} - 1}\right) + \mathrm{c}$

• $\mathrm{x} +\hspace{0.17em}\log \left(\frac{\mathrm{x} - 1}{\mathrm{x} + 1}\right) + \mathrm{c}$

• 5x⁴ . e^x + c

$\int {\mathrm{e}}^{\mathrm{x}} . {\mathrm{x}}^5\mathrm{dx}$ is

• e^x[x⁵ + 5x⁴ + 20x³ + 60x² + 120x + 120] + C

• e^x[x⁵ - 5x⁴ - 20x³ - 60x² - 120x - 120] + C

• e^x[x⁵ - 5x⁴ + 20x³ - 60x² + 120x - 120] + C

• e^x[x⁵ + 5x⁴ + 20x³ - 60x² - 120x + 120] + C

The value of ${\int }_{- 2}^2\left({\mathrm{ax}}^3 + \mathrm{bx} + \mathrm{c}\right)\mathrm{dx}$ depends on the

• value of b

• value of c

• value of a

• values of a and b

489.

$\int \frac{\sec \left(\mathrm{x}\right)}{\sec \left(\mathrm{x}\right) + \tan \left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}$ is equal to

• $\tan \left(\mathrm{x}\right) - \sec \left(\mathrm{x}\right) + \mathrm{C}$

• $\log \left(1 + \sec \left(\mathrm{x}\right)\right) +\hspace{0.17em}\mathrm{C}$

• $\sec \left(\mathrm{x}\right) + \tan \left(\mathrm{x}\right) +\hspace{0.17em}\mathrm{C}$

• $\log \left(\sin \left(\mathrm{x}\right)\right) - \log \left(\cos \left(\mathrm{x}\right)\right) + \mathrm{C}$

If $\int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} = \mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right), \mathrm{then} \int \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$ is equal to

• $\frac{1}{2}{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)$

• $\frac{1}{2}{\mathrm{g}}^2\left(\mathrm{x}\right)$

• $\frac{1}{2}{\left[\mathrm{g}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2$

• f'(x)g(x)