$\int \frac{\mathrm{x}+ \sin \left(\mathrm{x}\right)}{1 + \cos \left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} = ?$

• $\mathrm{xtan}\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \mathrm{C}$

• $\mathrm{xsin}\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \cos \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) +\hspace{0.17em}\mathrm{C}$

• $\mathrm{xtan}\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \sec \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\hspace{0.17em}+ \mathrm{C}$

• $\mathrm{xtan}\left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right) + \sec \left(\frac{\mathrm{x}}{2}\right)\hspace{0.17em}+ \mathrm{C}$

$\mathrm{If} {\mathrm{I}}_{\mathrm{n}} = \int \frac{\sin \left(\mathrm{nx}\right)}{\cos \left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}, \mathrm{then} {\mathrm{I}}_{\mathrm{n}} = ?$

• $\frac{ - 2}{\mathrm{n} - 1}\cos \left(\mathrm{n} - 1\right)\mathrm{x} - {\mathrm{I}}_{\mathrm{n} - 2}$

• $\frac{2}{\mathrm{n} - 1}\cos \left(\mathrm{n} - 1\right)\mathrm{x} + {\mathrm{I}}_{\mathrm{n} - 2}$

• $\frac{ - 2}{\mathrm{n} + 1}\sin \left(\mathrm{n} - 1\right)\mathrm{x} - {\mathrm{I}}_{\mathrm{n} - 2}$

• $\frac{ - 2}{\mathrm{n} + 1}\cos \left(\mathrm{n} - 1\right)\mathrm{x} - {\mathrm{I}}_{\mathrm{n} - 2}$

$\mathrm{The} \mathrm{integral} {\int }_0^2\left|\left|\mathrm{x} - 1\right| - \mathrm{x}\right|d\mathrm{x} = ?$

Let [t] denote the greatest integer less than or equal to t. Then the value of ${\int }_1^2\left|2\mathrm{x} - \left[3\mathrm{x}\right]\right|d\mathrm{x}$ is

$\mathrm{Area} \mathrm{enclosed} \mathrm{by} 0 \le \mathrm{y} \le {\mathrm{x}}^2 + 1, 0 \le \mathrm{y} \le \mathrm{x} + 1, \frac{1}{2} \le \mathrm{x} \le 2 \mathrm{is} :$

• $\frac{1}{12}$

• $\frac{1}{6}$

• 1

• $\frac{1}{3}$

$\mathrm{Evaluate} {\int }_{ - \mathrm{\pi }}^{\mathrm{\pi }}\left|\mathrm{\pi } - \left|\mathrm{x}\right|\right|d\mathrm{x}$

• ${\mathrm{\pi }}^2$

• $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{2}$

• $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{3}$

• $\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}$

$\left(2^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$5$}\right.} + 5^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$8$}\right.}\right) \mathrm{has} \mathrm{integral} \mathrm{terms} \mathrm{find} \mathrm{least} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{n} \mathrm{is}$

• 256

• 257

• 258

• 259

$$\begin{gathered} \mathrm{If} \int {\sin }^{-1}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{x}}{1 + \mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx} = \mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right){\tan }^{-1}\left(\sqrt{\mathrm{x}}\right) + \mathrm{Bx} + \mathrm{C}, \mathrm{where} \mathrm{C} \mathrm{is} \mathrm{a} \mathrm{constant} \\ \mathrm{of} \mathrm{integration}, \mathrm{then} \mathrm{ordered} \mathrm{pair} \left(\mathrm{A}\left(\mathrm{x}\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}\right)\right) \mathrm{can} \mathrm{be} : \end{gathered}$$

• $\left(\mathrm{x} - 1, \sqrt{\mathrm{x}}\right)$

• $\left(\mathrm{x} - 1, - \sqrt{\mathrm{x}}\right)$

• $\left(\mathrm{x} + 1, \sqrt{\mathrm{x}}\right)$

• $\left(\mathrm{x} + 1, - \sqrt{\mathrm{x}}\right)$

$\mathrm{If} \mathrm{the} \mathrm{value} \mathrm{of} \mathrm{the} \mathrm{integral} {\int }_0^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\frac{{\mathrm{x}}^2}{{\left(1 - {\mathrm{x}}^2\right)}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}}}\mathrm{dx} \mathrm{x} = \sin \left(\mathrm{\theta }\right); \mathrm{dx} = \cos \left(\mathrm{\theta }\right)\mathrm{d\theta }$

• $2\sqrt{3} + \mathrm{\pi }$

• $2\sqrt{3} - \mathrm{\pi }$

• $3\sqrt{2} + \mathrm{\pi }$

• $3\sqrt{2} - \mathrm{\pi }$

720.

The total number of 3-digit numbers, whose sum of digits is 10, is.......