161.

If the altitude of a triangle are in arithmatic progression, then the sides of the triangles are in

• AP

• HP

• GP

• AGP

If t_n = $\frac{1}{4}\left(\mathrm{n} + 2\right)\left(\mathrm{n} + 3\right)$ for n = 1, 2, 3 ..., then $\frac{1}{{\mathrm{t}}_1} + \frac{1}{{\mathrm{t}}_2} + ... + \frac{1}{{\mathrm{t}}_{2003}}$ is equal to

• $\frac{4006}{3006}$

• $\frac{4003}{3007}$

• $\frac{4006}{3008}$

• $\frac{4006}{3009}$

$\frac{1}{2!} + \frac{1 + 2}{3!} + \frac{{\displaystyle 1 + 2 +3}}{4!} + ... \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to} :$

• $\frac{\mathrm{e}}{2}$

• $\frac{\mathrm{e}}{3}$

• $\frac{\mathrm{e}}{4}$

• $\frac{\mathrm{e}}{5}$

The value of the series ${\mathrm{xlog}}_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{a}\right) + \frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}{\left({\log }_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{a}\right)\right)}^3$ + $\frac{{\mathrm{x}}^5}{5!}{\left({\log }_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{a}\right)\right)}^5$ + ... is

• $\cosh \left({\mathrm{xlog}}_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{a}\right)\right)$

• $\coth \left({\mathrm{xlog}}_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{a}\right)\right)$

• $\sinh \left({\mathrm{xlog}}_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{a}\right)\right)$

• $\tanh \left({\mathrm{xlog}}_{\mathrm{e}}\left(\mathrm{a}\right)\right)$

$\sum _{\mathrm{n} = 1}^{\infty }\frac{2{\mathrm{n}}^2 + \mathrm{n} + 1}{\mathrm{n}!}$ is equal to

• 2e - 1

• 2e + 1

• 6e - 1

• 6e + 1

If $\left|\mathrm{a}\right| <\hspace{0.17em}1, \mathrm{b} = \sum _{\mathrm{k} = 1}^{\infty }\frac{{\mathrm{a}}^{\mathrm{k}}}{\mathrm{k}}$, then a is equal to

• $\sum _{\mathrm{k} = 1}^{\infty }\frac{{\left(- 1\right)}^{\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}}{\mathrm{k}}$

• $\sum _{\mathrm{k} = 1}^{\infty }\frac{{\left(- 1\right)}^{\mathrm{k} - 1}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}}{\mathrm{k}!}$

• $\sum _{\mathrm{k} = 1}^{\infty }\frac{{\left(- 1\right)}^{\mathrm{k}}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}}{\left(\mathrm{k} - 1\right)!}$

• $\sum _{\mathrm{k} = 1}^{\infty }\frac{{\left(- 1\right)}^{\mathrm{k} - 1}{\mathrm{b}}^{\mathrm{k}}}{\left(\mathrm{k} + 1\right)!}$

The correct matching of List-I from List-II is :

         List- I                               List-II

(A)   ${\left(1 - \mathrm{x}\right)}^{- \mathrm{n}}$                     (i)      $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x} + 1}$

(B)    ${\left(1 + \mathrm{x}\right)}^{- \mathrm{n}}$                   (ii)      $1 - \mathrm{nx} + \frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n} + 1\right)}{2!}{\mathrm{x}}^2 - ... \mathrm{if} \left|\mathrm{x}\right| < 1$

(C)    if x > 1, then             (iii)     $1 + \mathrm{nx} + \frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n} + 1\right)}{2!}{\mathrm{x}}^2 + ... \mathrm{if} \left|\mathrm{x}\right| < 1$

$1 + \frac{1}{\mathrm{x}} + \frac{1}{{\mathrm{x}}^2} + ... \mathrm{is}$

(D) $$\begin{gathered} \mathrm{If} \left|\mathrm{x}\right| > 1, \mathrm{then} \\ 1 - \frac{2}{{\mathrm{x}}^2} + \frac{3}{{\mathrm{x}}^4} - \frac{4}{{\mathrm{x}}^6} + \end{gathered}$$    (iv)     $\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{x} - 1}$

                                        (v)     $\frac{{\mathrm{x}}^4}{{\left({\mathrm{x}}^2 + 1\right)}^2}$

                                        (vi)     $\frac{{\mathrm{x}}^4}{{\left({\mathrm{x}}^2 - 1\right)}^2}$    

$1 + \frac{2}{4} + \frac{2}{4} \frac{5}{8} + \frac{2}{4} \frac{5}{8} \frac{8}{12} + \frac{2}{4} \frac{5}{8} \frac{8}{12} \frac{11}{16} + . . . . \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to}:$

• $4^{ - \raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$3$}\right.}$

• $\sqrt[3]{16}$

• $\sqrt[3]{4}$

• $4^{\raisebox{1ex}{$3$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}$

$\mathrm{If} \left|\mathrm{x}\right| < 1 \mathrm{and} \mathrm{y} = \mathrm{x} - \frac{{\mathrm{x}}^2}{2} + \frac{{\mathrm{x}}^3}{3} - \frac{{\mathrm{x}}^4}{4} + . . . , \mathrm{then} \mathrm{x} \mathrm{is} \mathrm{equal} \mathrm{to}$

• $\mathrm{y} + \frac{{\mathrm{y}}^2}{2} + \frac{{\mathrm{y}}^3}{3} + . . .$

• $\mathrm{y} - \frac{{\mathrm{y}}^2}{2} + \frac{{\mathrm{y}}^3}{3} - \frac{{\mathrm{y}}^4}{4} + . . .$

• $\mathrm{y} + \frac{{\mathrm{y}}^2}{2!} + \frac{{\mathrm{y}}^3}{3!} + . . .$

• $\mathrm{y} - \frac{{\mathrm{y}}^2}{2!} + \frac{{\mathrm{y}}^3}{3!} - \frac{{\mathrm{y}}^4}{4!} + . . .$

$\mathrm{If} {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} = 1^3 +\hspace{0.17em}{2}^3 + ... +\hspace{0.17em}{\mathrm{n}}^3 \mathrm{and} {\mathrm{T}}_{\mathrm{n}} = 1 +\hspace{0.17em}2 + ... + \mathrm{n}, \mathrm{then}$

• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} = {\mathrm{T}}_{{\mathrm{n}}^3}$

• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} = {\mathrm{T}}_{{\mathrm{n}}^2}$

• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} = {{\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}}^2$

• ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}} = {{\mathrm{T}}_{\mathrm{n}}}^3$