વિધાન p(n) : 8n ≤ 2n - 16 દરેક n > ....... n ∈ N માટે સત્ય છે. from Mathematics ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

1. જો $bold sum from bold r bold equals bold 1 to bold k of bold r bold space bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold space bold left parenthesis bold n to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 11 bold n bold space bold plus bold space bold 30 bold right parenthesis$ તો k =- ....... .

n + 6
n + 7
n + 5
n + 4

2. વિધાન $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold n to the power of bold 3 over bold 3 to the power of bold n bold space bold less than bold space bold n bold factorial bold space bold less than bold space bold n to the power of bold n over bold 2 to the power of bold n$ દરેક n ≥ k, n ∈ N માટે સત્ય છે, તો k = .......... .

6
5
4
3

3. વિધાન p(n) : 3²ⁿ⁺¹+2^n-1એ n ∈ N .......... ના ગુણકમાં છે.

4
7
5
2

4. $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold 2 to the power of bold 2 to the power of bold 2 end exponent$ નો એકમનો અંક ....... છે. n > 1

0
4
6
2

5.

bold n bold factorial bold space bold less than bold space open square brackets fraction numerator bold n bold plus bold 1 over denominator bold 2 end fraction close square brackets to the power of bold n

નું પાલન થાય તેવો નાનામાં નાનો ધનપૂર્ણાંક ........ છે. જ્યાં [] મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.

6
3
4
2

6. મહત્તમ ધન પૂર્ણાંક ...... વડે (n + 1) (n + 2) (n + 3) .... (n + r) ને નિ:શેષ ભાગી શકાય. n ∈ N

r !
n!
n+r+1
(n+r)!

7. વિધાન p(n) : 8n ≤ 2ⁿ - 16 દરેક n > ....... n ∈ N માટે સત્ય છે.

1
4
2
5

D.

5

Tips: -

p(1) : 8 ≤ 2¹ - 16 સત્ય નથી.

p(2) : 16 ≤ 2² - 16 સત્ય નથી.

p(3) : 24 ≤ 3³ - 16 સત્ય નથી.

p(4) 32 ≤ 2⁴ - 16  સત્ય નથી.

p(5) 40 ≤ 2⁵ - 16 સત્ય નથી.

p(6) : 48 ≤ 2⁶ - 16 સત્ય છે.   આથી p(6) સત્ય છે.

p(7) : 56 ≤ 2⁷ - 16 સત્ય છે.

∴ ધારો કે p(x) સત્ય છે. k ≥ 6

∴ 8k ≤ 2^k - 16 સત્ય છે.

∴ 8k + 8 ≤ 2^k - 16 + 8

∴ 8 (k + 1) ≤ 2^k + 2^k - 16

∴ 8 (k + 1) ≤ 2. 2^k - 16

∴ 8 (k + 1) ≤ 2^k+1 - 16

∴ p(k+1) સત્ય છે.

આમ, p(k) સત્ય છે. ⇒ p(k+1) સત્ય છે. k ≥5

∴ p(n),  n > 5 સત્ય છે.