અસમતા 3n < (n + 1 ) !, n ∈ N એ ...... . from Mathematics ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

1. વિધાન p(n) : 8n ≤ 2ⁿ - 16 દરેક n > ....... n ∈ N માટે સત્ય છે.

1
4
2
5

2.

bold n bold factorial bold space bold less than bold space open square brackets fraction numerator bold n bold plus bold 1 over denominator bold 2 end fraction close square brackets to the power of bold n

નું પાલન થાય તેવો નાનામાં નાનો ધનપૂર્ણાંક ........ છે. જ્યાં [] મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.

6
3
4
2

3. જો 1³ + 2³ + 3³ + ... + 50³ = m², તો m = ........... .

1275
1225
2450
1375

4. $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold 2 to the power of bold 2 to the power of bold 2 end exponent$ નો એકમનો અંક ....... છે. n > 1

0
4
6
2

5. જો $bold sum from bold r bold equals bold 1 to bold k of bold r bold space bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold space bold left parenthesis bold n to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 11 bold n bold space bold plus bold space bold 30 bold right parenthesis$ તો k =- ....... .

n + 6
n + 7
n + 5
n + 4

6. વિધાન p(n) : 3²ⁿ⁺¹+2^n-1એ n ∈ N .......... ના ગુણકમાં છે.

4
7
5
2

7. અસમતા 3ⁿ < (n + 1 ) !, n ∈ N એ ...... .

n = 4 માટે સત્ય નથી.
દરેક n ≥4 માટે સત્ય છે.
n = 13 માટે સત્ય નથી.
દરેક n>21 માટે સત્ય છે.

B.

દરેક n ≥4 માટે સત્ય છે.

Tips: -

n = 1 લેતાં, 3 < 2 સત્ય નથી.

n = 2 લેતાં, 9 <6 સત્ય નથી.

n = 3 લેતાં, 27 < 24 સત્ય નથી.

n = 4 લેતાં, 81 < 120 સત્ય છે.

p(n) : 3ⁿ < (n + 1)! એ n ≥ 4 સત્ય છે.

ધારો કે n = k માટે 3ⁿ < (n + 1)! સત્ય છે. k ≥ 4

∴ 3^k ≤ (k+1)!

∴ 3^k $bold times$ 3 <(k+1)! 3

∴ 3^k+1 < 3 (k+1)! < (k+2) (k+1)! (k ≥ 4 ⇒ k + 2 > 3)

∴ 3^k+1 < (k+2)!

∴ વિધાન n =k + 1 માટે સત્ય છે.

∴ p(k) સત્ય છે. ⇒ p(k+1) સત્ય છે. k ≥ 4

∴ p(n) : 3ⁿ < (n+1)! n ≥ 4 સત્ય છે.

8. મહત્તમ ધન પૂર્ણાંક ...... વડે (n + 1) (n + 2) (n + 3) .... (n + r) ને નિ:શેષ ભાગી શકાય. n ∈ N

r !
n!
n+r+1
(n+r)!

9. વિધાન $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold n to the power of bold 3 over bold 3 to the power of bold n bold space bold less than bold space bold n bold factorial bold space bold less than bold space bold n to the power of bold n over bold 2 to the power of bold n$ દરેક n ≥ k, n ∈ N માટે સત્ય છે, તો k = .......... .

6
5
4
3

10. વિધાન p(n) : n²≥ 3n ........ સત્ય છે.

n ∈ N
n ∈ N, n > 1
n ∈ N, n ≥ 3
દરેક અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા

Book Store

Subject

Gujarati JEE Mathematics : ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Multiple Choice Questions

Switch