Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for.
CBSE

Gujarati JEE Mathematics : ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Multiple Choice Questions

11. યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
વિધાન 1 : એ કોઈક માટે અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
વિધાન 2 : દરેક અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે. તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત છે.
વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની યોગ્ય સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત નથી.
વિધાન 1 સત્ય છે તથા વિધાન 2 અસત્ય છે.
વિધાન 1 અસત્ય છે તથા વિધાન 2 સત્ય છે.

12. p(n) : 49ⁿ + 24^n-1 એ n ∈ N માટે ......... વડે વિભાજ્ય છે.

13. જો S(k) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = 3 k², તો નીચેના પૈકી કયું સત્ય છે ?

S(k) ⇒ S (k+1) સત્ય છે.
S(1) સત્ય છે.
S(k) ⇒S(k+1) સત્ય નથી.
આ પરિણામ સાબિત કરવા માટે ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંતનો ઉપયોગ થઈ શકે.

14. યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
વિધાન 1 : દરેક n ∈ N માટે (n + 1)⁷ - n⁷ - 1 એ 7 વડે વિભાજ્ય છે.
વિધાન 2 : દરેક n ∈ N માટે n⁷ - n એ 7 વડે વિભાજ્ય છે.

વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે. તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત છે.
વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની યોગ્ય સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત નથી.
વિધાન 1 સત્ય છે તથા વિધાન 2 અસત્ય છે.
વિધાન 1 અસત્ય છે તથા વિધાન 2 સત્ય છે.

15. જો A = $open square brackets table row bold 1 bold 0 row bold 1 bold 1 end table close square brackets$ અને I = $open square brackets table row bold 1 bold 0 row 0 bold 1 end table close square brackets$ તો નીચેના પૈકી કયું દરેક n ≥ 1, n ∈ N માટે સત્ય છે ?

Aⁿ = 2^n-1 A + (n-1)I
Aⁿ = nA + (n+1) I
Aⁿ = 2^n-1 A - (n-1) I
Aⁿ = nA - (n -1) I

16. જો $bold a subscript bold n bold space bold equals bold space square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 bold plus bold. bold. bold. end root end root bold space bold n$ વખત તો ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંત પરથી કયું સત્ય છે?

a_n > 7, n ≥ 1
a_n > 3, n ≥ 1
a_n < 4, n ≥ 1
a_n < 3, n ≥ 1

a_n < 4, n ≥ 1

Tips: -

$bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold a subscript bold n bold space bold equals bold space square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 square root of bold 7 bold plus bold. bold. bold. end root end root end root bold space bold n$ વખત

n = 1લેતાં, a₁ = $square root of bold 7$ આથી a₁ < 7 હોવાથી a_n > 7 સત્ય નથી.

a₁ > 3 સત્ય નથી. a₁ = $square root of bold 7 bold space bold greater than bold space bold 4$ અને a₁ = $square root of bold 7$ < 3 સત્ય છે.

$bold a subscript bold 2 bold space bold equals bold space square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 end root$
અહીં $bold 2 bold space bold less than bold space square root of bold 7 bold space bold less than bold space bold 3 bold space bold rightwards double arrow bold space bold 9 bold space bold less than bold space bold 7 bold space bold plus bold space square root of bold 7 bold space bold less than bold space bold 10 bold space bold less than bold space bold 10 bold space bold rightwards double arrow bold space bold 3 bold space bold less than bold space square root of bold 7 square root of bold 7 end root bold space bold less than bold space bold 4 bold space bold rightwards double arrow bold space bold 3 bold space bold less than bold space bold a subscript bold 2 bold space bold less than bold space bold 4$

∴ a₂ < 3 સત્ય નથી. પરંતુ a₂ < 4 સત્ય છે.

આમ, a₁ < 4, a₂ < 4 સત્ય છે.

ધારો કે a_k < 4

હવે, a_k+1 = $square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 bold plus bold. bold. bold. end root end root end root bold space bold k bold space bold plus bold space bold 1$ વખત

$bold equals bold space square root of bold 7 bold plus bold a subscript bold k end root$

$bold therefore bold space bold a to the power of bold 2 subscript bold k bold plus bold 1 end subscript bold space bold equals bold space bold 7 bold space bold plus bold space bold a subscript bold k bold space bold less than bold space bold 7 bold space bold plus bold space bold 4 bold.$ આથી $bold a subscript bold k bold plus bold 1 end subscript bold space bold less than bold space square root of bold 11 bold space bold less than bold space bold 4$ આથી $bold a subscript bold k bold plus bold 1 end subscript bold space bold less than bold space bold 4$

આમ, a_n <4, n = k+1 માટે સત્ય છે.

$bold therefore bold space bold a subscript bold n bold space bold less than bold space bold 4 bold comma bold space$ n ∈ N

17. $table row cell begin inline style bold pi over bold 2 end style end cell row bold integral row bold 0 end table bold space fraction numerator bold sin to the power of bold 2 bold nx over denominator bold sinx end fraction bold dx bold space bold equals bold space bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold.$ n ∈ N

1
0
$bold 1 bold space bold plus bold space bold 1 over bold 3 bold space bold plus bold space bold 1 over bold 5 bold space bold plus bold space bold. bold. bold. bold space bold plus bold space fraction numerator bold 1 over denominator bold 2 bold n bold minus bold 1 end fraction$
$bold 1 bold plus bold 1 over bold 2 bold plus bold 1 over bold 3 bold plus bold. bold. bold. bold plus bold 1 over bold n$

18. યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
વિધાન 1 : 111...1 (n વખત) એ કોઈક n ∈ N - {1} માટે અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
વિધાન 2 : p(n) : 111...1 (n વખત) એ n = 91 માટે વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે. તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત છે.
વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની યોગ્ય સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત નથી.
વિધાન 1 સત્ય છે તથા વિધાન 2 અસત્ય છે.
વિધાન 1 અસત્ય છે તથા વિધાન 2 સત્ય છે.

Switch

Book Store

Subject

Gujarati JEE Mathematics : ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Multiple Choice Questions

Switch