Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for.
CBSE

Gujarati JEE Mathematics : ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Multiple Choice Questions

1. મહત્તમ ધન પૂર્ણાંક ...... વડે (n + 1) (n + 2) (n + 3) .... (n + r) ને નિ:શેષ ભાગી શકાય. n ∈ N

r !
n!
n+r+1
(n+r)!

2. $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold 2 to the power of bold 2 to the power of bold 2 end exponent$ નો એકમનો અંક ....... છે. n > 1

3. જો $bold sum from bold r bold equals bold 1 to bold k of bold r bold space bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold space bold left parenthesis bold n to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 11 bold n bold space bold plus bold space bold 30 bold right parenthesis$ તો k =- ....... .

n + 6
n + 7
n + 5
n + 4

4. વિધાન p(n) : n²≥ 3n ........ સત્ય છે.

n ∈ N
n ∈ N, n > 1
n ∈ N, n ≥ 3
દરેક અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા

bold n bold factorial bold space bold less than bold space open square brackets fraction numerator bold n bold plus bold 1 over denominator bold 2 end fraction close square brackets to the power of bold n

નું પાલન થાય તેવો નાનામાં નાનો ધનપૂર્ણાંક ........ છે. જ્યાં [] મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.

6. વિધાન p(n) : 8n ≤ 2ⁿ - 16 દરેક n > ....... n ∈ N માટે સત્ય છે.

7. વિધાન $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold n to the power of bold 3 over bold 3 to the power of bold n bold space bold less than bold space bold n bold factorial bold space bold less than bold space bold n to the power of bold n over bold 2 to the power of bold n$ દરેક n ≥ k, n ∈ N માટે સત્ય છે, તો k = .......... .

8. વિધાન p(n) : 3²ⁿ⁺¹+2^n-1એ n ∈ N .......... ના ગુણકમાં છે.

Tips: -

n = 1 લેતાં, 3³ + 2⁰ = 28 જે 7 અને 2 ના ગુણકમાં છે.

n = 2 લેતાં, 3⁵ + 2¹ = 245 = 7 × 35 જે 7 ના ગુણકમાં છે. પણ 2 ના ગુણકમાં નથી.

∴ p(n) : 3²ⁿ⁺¹ + 2^n-1 એ n ∈ N, 7 ના ગુણકમાં છે તેવું અનુમાન કરી શકાય.

ધારો કે p(k) : 3²ⁿ⁺¹ + 2^k-1 એ 7 ના ગુણકમાં છે. (k ∈ N) સત્ય છે.

∴ 3^{2k + 1} 2^k-1 = 7m m∈ N ... (1)

n = k + 1 માટે 3^2k+3 2^k = 9 $times$ 3^2k+1 + 2^k

$bold equals bold space bold 9 bold space bold left parenthesis bold 7 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold space bold minus bold 1 end exponent bold right parenthesis bold space bold plus bold space bold 2 to the power of bold k bold space bold space bold space bold space bold left parenthesis bold because bold space bold 1 bold right parenthesis bold equals bold space bold 63 bold m bold space bold minus bold space bold 9 bold times bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold space bold plus bold space bold 2 to the power of bold k bold equals bold space bold 63 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold space bold left parenthesis bold 9 bold minus bold 2 bold right parenthesis$

$bold equals bold space bold 7 bold space bold left parenthesis bold 9 bold m bold space bold minus bold space bold 2 to the power of bold k bold minus bold 1 end exponent bold right parenthesis$ એ 7ના ગુણકમાં છે.
∴ p(k) સત્ય છે ⇒ p(k+1) સત્ય છે.

p(2) પરથી A, D સત્ય નથી. p(1) પરથી B સત્ય નથી.

∴ વિકલ્પ C સત્ય છે.

∴ ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંત પરથી p(n) n ∈ N સત્ય છે.