વિધાન p(n) : n2 ≥ 3n ........ સત્ય છે. from Mathematics ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

1. વિધાન p(n) : 8n ≤ 2ⁿ - 16 દરેક n > ....... n ∈ N માટે સત્ય છે.

1
4
2
5

2. જો 1³ + 2³ + 3³ + ... + 50³ = m², તો m = ........... .

1275
1225
2450
1375

3.

bold n bold factorial bold space bold less than bold space open square brackets fraction numerator bold n bold plus bold 1 over denominator bold 2 end fraction close square brackets to the power of bold n

નું પાલન થાય તેવો નાનામાં નાનો ધનપૂર્ણાંક ........ છે. જ્યાં [] મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય છે.

6
3
4
2

4. વિધાન p(n) : 3²ⁿ⁺¹+2^n-1એ n ∈ N .......... ના ગુણકમાં છે.

4
7
5
2

5. વિધાન $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold n to the power of bold 3 over bold 3 to the power of bold n bold space bold less than bold space bold n bold factorial bold space bold less than bold space bold n to the power of bold n over bold 2 to the power of bold n$ દરેક n ≥ k, n ∈ N માટે સત્ય છે, તો k = .......... .

6
5
4
3

6. જો $bold sum from bold r bold equals bold 1 to bold k of bold r bold space bold equals bold space bold 1 over bold 2 bold space bold left parenthesis bold n to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 11 bold n bold space bold plus bold space bold 30 bold right parenthesis$ તો k =- ....... .

n + 6
n + 7
n + 5
n + 4

7. મહત્તમ ધન પૂર્ણાંક ...... વડે (n + 1) (n + 2) (n + 3) .... (n + r) ને નિ:શેષ ભાગી શકાય. n ∈ N

r !
n!
n+r+1
(n+r)!

8. અસમતા 3ⁿ < (n + 1 ) !, n ∈ N એ ...... .

n = 4 માટે સત્ય નથી.
દરેક n ≥4 માટે સત્ય છે.
n = 13 માટે સત્ય નથી.
દરેક n>21 માટે સત્ય છે.

9. $bold p bold left parenthesis bold n bold right parenthesis bold space bold colon bold space bold 2 to the power of bold 2 to the power of bold 2 end exponent$ નો એકમનો અંક ....... છે. n > 1

0
4
6
2

10. વિધાન p(n) : n²≥ 3n ........ સત્ય છે.

n ∈ N
n ∈ N, n > 1
n ∈ N, n ≥ 3
દરેક અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા

C.

n ∈ N, n ≥ 3

Tips: -

p(1) : 1 ≥ 3 સત્ય નથી.

p(2) : 4 ≥ 6 સત્ય નથી.

p(3) : 9 ≥ 9 સત્ય છે.

p(4) : 16 ≥ 12 સત્ય નથી.

p(5) : 25 ≥ સત્ય છે.

∴ ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંત પરથી નીચે પ્રમાણે સાબિત કરી શકાય કે p(n), n ≥ 3 સત્ય છે.

ધારો કે p(k) : k² ≥ 3k k ≥ 3 માટે સત્ય છે. ... (1)

p(k + 1) : (k + 1)² ≥ 3 (k + 1) સાબિત કરવું છે.

અહીં (k + 1)² = k² + 2k + 1

≥ 3k + 2k + 1

≥ 3k + 3 = 3(k+1) (k ≥ ⇒ 2k + 1 ≥ 3)

= 3(k + 1)

∴ (k + 1)² ≥ 3(k+1)

∴ p(k + 1) સત્ય છે.

∴ ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંત પરથી p(n) : n² ≥ 3n; n ∈ N n ≥ 3 માટે સત્ય છે.

Book Store

Subject

Gujarati JEE Mathematics : ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Multiple Choice Questions

Switch