Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for.
CBSE

Gujarati JEE Mathematics : ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Multiple Choice Questions

11. યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
વિધાન 1 : દરેક n ∈ N માટે (n + 1)⁷ - n⁷ - 1 એ 7 વડે વિભાજ્ય છે.
વિધાન 2 : દરેક n ∈ N માટે n⁷ - n એ 7 વડે વિભાજ્ય છે.

વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે. તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત છે.
વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની યોગ્ય સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત નથી.
વિધાન 1 સત્ય છે તથા વિધાન 2 અસત્ય છે.
વિધાન 1 અસત્ય છે તથા વિધાન 2 સત્ય છે.

12. યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
વિધાન 1 : એ કોઈક માટે અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
વિધાન 2 : દરેક અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યા એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે. તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત છે.
વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની યોગ્ય સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત નથી.
વિધાન 1 સત્ય છે તથા વિધાન 2 અસત્ય છે.
વિધાન 1 અસત્ય છે તથા વિધાન 2 સત્ય છે.

13. p(n) : 49ⁿ + 24^n-1 એ n ∈ N માટે ......... વડે વિભાજ્ય છે.

Tips: -

p(1) : 49¹ + 24⁰ = 50 વડે 25 વિભાજ્ય છે.

ધારો કે, p(n) : 49ⁿ + 24^n-1 એ દરેક n ∈ N માટે 25 વડે વિભાજ્ય છે.

ધારો કે m ∈ N

એટલે કે 49^k + 24^k-1 = 25m.

હવે p(k+1) : 49ⁿ + 24^n-1 એ વડે વિભાજ્ય છે તેમ સાબિત કરવું છે.

હવે 49^k+1 + 24^k = 49 (25m - 24^k-1) + 24^k
= 49 $times$ 25m - 49 $bold times$ 24^k + 24^k

= 25 (49 m - 24^k-1) એ 25 વડે વિભાજ્ય છે.
∴ p(k +1) સત્ય છે.

આમ, p(k) સત્ય છે. ⇒ p(k+1) સત્ય છે. k ∈ N

∴ વિધાન p(n), n ∈ N સત્ય છે.

14. જો S(k) = 1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = 3 k², તો નીચેના પૈકી કયું સત્ય છે ?

S(k) ⇒ S (k+1) સત્ય છે.
S(1) સત્ય છે.
S(k) ⇒S(k+1) સત્ય નથી.
આ પરિણામ સાબિત કરવા માટે ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંતનો ઉપયોગ થઈ શકે.

15. યોગ્ય વિકલ્પ પસંદ કરો :
વિધાન 1 : 111...1 (n વખત) એ કોઈક n ∈ N - {1} માટે અવિભાજ્ય સંખ્યા નથી.
વિધાન 2 : p(n) : 111...1 (n વખત) એ n = 91 માટે વિભાજ્ય સંખ્યા છે.

વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે. તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત છે.
વિધાન 1 અને 2 સત્ય છે તથા વિધાન 2 એ વિધાન 1 ની યોગ્ય સમજૂતી માટે પર્યાપ્ત નથી.
વિધાન 1 સત્ય છે તથા વિધાન 2 અસત્ય છે.
વિધાન 1 અસત્ય છે તથા વિધાન 2 સત્ય છે.

16. $table row cell begin inline style bold pi over bold 2 end style end cell row bold integral row bold 0 end table bold space fraction numerator bold sin to the power of bold 2 bold nx over denominator bold sinx end fraction bold dx bold space bold equals bold space bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold.$ n ∈ N

1
0
$bold 1 bold space bold plus bold space bold 1 over bold 3 bold space bold plus bold space bold 1 over bold 5 bold space bold plus bold space bold. bold. bold. bold space bold plus bold space fraction numerator bold 1 over denominator bold 2 bold n bold minus bold 1 end fraction$
$bold 1 bold plus bold 1 over bold 2 bold plus bold 1 over bold 3 bold plus bold. bold. bold. bold plus bold 1 over bold n$

17. જો $bold a subscript bold n bold space bold equals bold space square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 bold plus square root of bold 7 bold plus bold. bold. bold. end root end root bold space bold n$ વખત તો ગણિતીય અનુમાનના સિદ્વાંત પરથી કયું સત્ય છે?

a_n > 7, n ≥ 1
a_n > 3, n ≥ 1
a_n < 4, n ≥ 1
a_n < 3, n ≥ 1

18. જો A = $open square brackets table row bold 1 bold 0 row bold 1 bold 1 end table close square brackets$ અને I = $open square brackets table row bold 1 bold 0 row 0 bold 1 end table close square brackets$ તો નીચેના પૈકી કયું દરેક n ≥ 1, n ∈ N માટે સત્ય છે ?

Aⁿ = 2^n-1 A + (n-1)I
Aⁿ = nA + (n+1) I
Aⁿ = 2^n-1 A - (n-1) I
Aⁿ = nA - (n -1) I

Switch

Book Store

Subject

Gujarati JEE Mathematics : ગણિતિય અનુમાનો સિદ્વાંત

Multiple Choice Questions

Switch