જો સંકર સંખ્યા z (z ≠ 2)એ સમીકરણ z2 = 4z + |z2| +  નું સમાધાન કરે તો |z|4 ની કિંમત ...... થાય. from Mathematics સંકર સંખ્યાઓ

Book Store

Download books and chapters from book store.
Currently only available for.
CBSE

Subject

Mathematics
Advertisement
zigya logo

Gujarati JEE Mathematics : સંકર સંખ્યાઓ

Multiple Choice Questions

21. સમીકરણ zn = (z+1)n નાં બીજ .....
  • 1/2 ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર આવેલ છે.

  • 2n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણ પર આવેલ છે.
  • n બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણ પર આવેલ છે. 
  • 2x + 1 = 0રેખા પર આવેલ છે. 

22. જો |z| < 1, |v| < 1 અને z = fraction numerator bold u bold minus bold v over denominator bold 1 bold minus bold uv end fraction તો |z| ની ન્યુનતમ કિંમત ....... થાય. 
  • fraction numerator bold vertical line bold u bold vertical line bold plus bold vertical line bold v bold vertical line over denominator bold 1 bold minus bold vertical line bold u bold vertical line bold vertical line bold v bold vertical line end fraction
  • fraction numerator open vertical bar bold vertical line bold u bold vertical line bold minus bold vertical line bold v bold vertical line close vertical bar over denominator bold 1 bold minus bold vertical line bold u bold vertical line bold vertical line bold v bold vertical line end fraction
  • fraction numerator bold vertical line bold u bold vertical line bold minus bold vertical line bold v bold vertical line over denominator bold 1 bold plus bold vertical line bold u bold vertical line bold vertical line bold v bold vertical line end fraction
  • fraction numerator bold vertical line bold u bold vertical line bold plus bold vertical line bold v bold vertical line over denominator bold 1 bold minus bold vertical line bold u bold vertical line bold vertical line bold v bold vertical line end fraction

23. |z-i| + |z+i| ≤ 4 એ આર્ગન્ડ સમતલમાં કયો પ્રદેશ દર્શાવશે ?
  • ઉપવલયની અંદરનો ભાગ

  • વર્તુળની બહારનો ભાગ 
  • ઉપવલય ઉપર તથા તેની અંદરનો ભાગ 
  • વર્તુળ ઉપર તથા તેની અંદરનો ભાગ

24. સંકર સંખ્યા z1 = x1 + iy1 અને z2 = x2 + iy2 માટે જો x1 ≤ x2  અને y1 ≤ y2 તો આપણે z1 ∩ z2 વડે દર્શાવીએ.
ધારો કે z એ સંકર સંખ્યા છે જ્યાં 1 ∩ z, તો
  • fraction numerator bold 1 bold minus bold z over denominator bold 1 bold plus bold z end fraction bold intersection bold 0
  • fraction numerator bold 1 bold plus bold z over denominator bold 1 bold minus bold z end fraction bold intersection bold 0
  • fraction numerator bold 1 bold minus bold z over denominator bold 1 bold plus bold z end fraction bold intersection bold minus bold i

Advertisement
25.
જો (1+x)n ના દ્વિપદી વિસ્તરણના સહગુણકો c0, c2, ..., cn હોય, તો નીચે આપેલ વિકલ્પમાંથી કયો વિકલ્પ સત્ય ના બને ?
  • bold c subscript bold 1 bold space bold plus bold space bold c subscript bold 5 bold space bold plus bold space bold c subscript bold 9 bold space bold plus bold space bold c subscript bold 0 bold space bold plus bold space bold. bold. bold. bold space bold equals bold space open parentheses bold 2 to the power of bold n bold minus bold 1 end exponent bold space bold plus bold space bold 2 to the power of begin inline style bold n over bold 2 end style end exponent bold space bold sin bold space bold pi close parentheses bold 4
  • Error converting from MathML to accessible text.
  • bold c subscript bold 1 bold space bold minus bold space bold c subscript bold 3 bold space bold minus bold space bold c subscript bold 5 bold space bold minus bold space bold. bold. bold. bold space bold equals bold space bold 2 to the power of begin inline style bold n over bold 2 end style end exponent bold space bold sin bold space bold nπ over bold 4
  • bold c subscript bold 0 bold space end subscript bold minus bold space bold c subscript bold 2 bold space bold plus bold space bold c subscript bold 4 bold space bold minus bold space bold c subscript bold 6 bold space bold plus bold space bold. bold. bold. bold space bold 2 to the power of begin inline style bold n over bold 2 end style end exponent bold space bold cos bold space bold nπ over bold 4

26. જો x = cos θ + i sin θ અને y = cos ϕ + i sin ϕ તો xm ynfraction numerator bold 1 over denominator bold x to the power of bold m bold space bold y to the power of bold n end fraction bold space bold equals bold space bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold. bold space bold.
  • 2cos (mθ-nϕ)
  • 2cos(mθ + nϕ)
  • cos(mθ - nϕ)
  • cos(mθ + nϕ)

27. z1 અને z2 એવી સંકર સંખ્યાઓ છે. જ્યાં open vertical bar fraction numerator bold z subscript bold 1 bold minus bold 2 bold z subscript bold 2 over denominator bold 2 bold minus bold z subscript bold 1 bold space bold z with bold bar on top subscript bold 2 end fraction close vertical bar bold space bold equals bold space bold 1 તથા |z2| ≠ 1. બિંદુ એ
  • 2 ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર હોય.

  • 4 ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર હોય. 
  • X-અક્ષને સમાંતર રેખા પર હોય. 
  • Y-અક્ષને સમાંતર રેખા પર હોય.

Advertisement
28.
જો સંકર સંખ્યા z (z ≠ 2)એ સમીકરણ z2 = 4z + |z2| + fraction numerator bold 16 over denominator bold vertical line bold z bold vertical line to the power of bold 3 end fraction નું સમાધાન કરે તો |z|ની કિંમત ...... થાય.
  • 1

  • 2

  • 3

  • 4


D.

4

Tips: -

ધારો કે z = re.  આથી bold 1 over bold z bold comma bold 1 over bold r bold space bold e to the power of bold minus bold iθ end exponent આથી r = |z| 

આપેલ સમીકરણમાં z તથા bold 1 over bold z ની કિંમત મૂકતાં,

bold r to the power of bold 2 bold space bold e to the power of bold 2 bold iθ end exponent bold space bold equals bold space bold 4 bold space bold re to the power of bold iθ bold space bold plus bold space bold r to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 16 over bold r to the power of bold 3
વાસ્તવિક ભાગ અને કાલ્પનિક ભાગ સરખાવતાં,


bold r to the power of bold 2 bold space bold cos bold space bold 2 bold theta bold space bold equals bold space bold 4 bold r bold space bold cos bold space bold theta bold space bold plus bold space bold r to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 16 over bold r to the power of bold 3                              ... (1)

r2 cos 2θ = 4r sin θ                                                        ... (2)

∴ 2r2 sinθ cos θ - 4r sin θ = 0

∴ r sin θ = 0  અથવા r = cos θ = 2 

વિકલ્પ 1 : r sin θ = 0.  આથી sinθ = 0                              (r ≠0)

∴ cos θ = ± 1

cos θ = 1  સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,

bold r to the power of bold 2 bold space bold left parenthesis bold 2 bold cos to the power of bold 2 bold theta bold space bold minus bold 1 bold right parenthesis bold space bold equals bold space bold 4 bold rcos bold space bold theta bold space bold plus bold space bold r to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 16 over bold r to the power of bold 3

bold r to the power of bold 2 bold space bold equals bold space bold 4 bold r bold space bold plus bold space bold r to the power of bold 2 bold space bold plus bold space bold 16 over bold r to the power of bold 3

bold therefore bold space bold 4 bold r bold space bold plus bold space bold 16 over bold r to the power of bold 3 bold space bold equals bold space bold 0 bold space

bold therefore bold space bold 4 bold r bold space bold equals bold space fraction numerator bold minus bold 16 over denominator bold r to the power of bold 3 end fraction

 bold therefore bold space bold r to the power of bold 4 bold space bold equals bold space bold minus bold 4 bold spaceશક્ય નથી.


વિકલ્પ 2 :  cos θ = -1 સમીકરણ (1) માં મૂકતાં,


r4 = 4 

આથી |z|4 = 4 
 

વિકલ્પ 3 : r cos θ = 2
                         સમીકરણ (1) પરથી, r5 = -8 જે શક્ય નથી. કારણ કે r = |z|

                          ∴ r4 = 4 

                         ∴ |z|4 = 4 


Advertisement
Advertisement
29. જો fraction numerator bold z bold minus bold 1 over denominator bold e to the power of bold iθ end fraction bold space bold plus bold space fraction numerator bold e to the power of bold iθ over denominator bold z bold minus bold 1 end fraction કાલ્પનિક ભાગ શુન્ય હોય, તથા fraction numerator bold z bold minus bold 1 over denominator bold e to the power of bold iθ end fraction વાસ્તવિક ન હોય તો z એ 
  • રેખા પર હોય.

  • વર્તુળ હોય.
  • પરવલય પર હોય.  
  • ઉપવલય પર હોય.

30. જો |z2-1| = |z|2 + 1, તો z એ ................ . 
  • કાલ્પનિક અક્ષ પર હોય. 

  • ઉપવલય પર હોય. 

  • વર્તુળ પર હોય. 

  • વાસ્તવિક અક્ષ પર હોય.


Advertisement

Switch