सेना की टुकड़ी में सदस्यों की संख्या = 616

आर्मी बैंड में सदस्यों की संख्या = 32

32 और 616 का यूक्लिड विभाजन के साथ HCF निकलने पर

हमें प्राप्त होता है

अब भागफल 0 हैl

इसलिए स्तंभों की संख्या 8 होगी

माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, q भागफल है, r शेषफल है

तब  a = bq + r जहाँ q और r भी धनात्मक पूर्णांक है और 0 ≤ r < b

b = 3, हमें प्राप्त होता है

a = 3q + r; जहाँ 0 ≤ r < 3

जब, r = 0 = ⇒ a = 3q

जब, r = 1 = ⇒ a = 3q + 1

जब, r = 2 = ⇒ a = 3q + 2

अब हम यह दर्शाएगें की धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3q, 3q + 1 और 3q + 2 की तरह से लिखा जा सकता है 3m or 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए

⇒ 3q = (3q)²

= 9q² = 3(3q²) = 3 m जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 1 = (3q + 1)²

= 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2 q) + 1

= 3m +1, जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 2 = (3q + 2)²

= (3q + 2)²

= 9q² + 12q + 4

= 9q² + 12q + 3 + 1

= 3(3q² + 4q + 1)+ 1

= 3m + 1 किसी m पूर्णांक के लिए

∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो 3m या 3m + 1 के रूप में होता हैl

(i) बड़े पूर्णांक से शुरू कीजिए अर्थात 225 विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:



अब 135 को भाज्य और 90 को भाजक मानकर दोबारा विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

अब 90 को भाज्य और 45 को भाजक मानकर एक बार फिर विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

अब शेषफल 0 प्राप्त हुआ है इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई

135 और 225 का HCF 45 हैl

(ii) अब 38220 को भाज्य और 196 को भाजक मानकर दोबारा विभाजन एल्गोरिथम का प्रयोग करते हुए हम प्राप्त करते हैं:

अब शेषफल 0 प्राप्त हुआ है इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई
इसलिए 196 और 38220 का HCF 196 हैl
(iii) 867 = 255 x 3 + 102
      255 = 102 x 2 + 51
      102 = 51 x 2 + 0
अब शेष '0' रह गया है, इसलिए हमारी प्रक्रिया समाप्त हुई और
  HCF (867, 255) = 51
जाँच:

माना a और b कोई दो धनात्मक पूर्णांक है जहाँ a बड़ा है b से

तब:

a = bq + r;

जहाँ q और r  धनात्मक पूर्णांक है 0 ≤ r < b.

b = 3, रखने पर हमें प्राप्त होता है

a = 3q + r ; जहाँ 0 ≤ r < 3.

⇒ a के अलग-अलग मान है 3q, 3q + 1 or 3q + 2.

3q का घन 3q = (3q)³

= 27q³ = 9(3q³) = 9m ;

जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 1 का घन 3q + 1 = (3q + 1)³

= (3q)³ + 3(3q)² × 1 + 3(3q) × 1² + (1)³

[∵ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³]

= 27q³ + 27q² + 9q + 1

= 9(3q³ + 3q² + q) + 1

= 9m + 1; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

3q + 2 का घन 3q + 2 = (3q + 2)³

= (3q)³ + 3(3q)² × 2 + 3 × 3q × 2² + 2³

= 27q³ + 27q² + 36q + 8

= 9(3q³ + 3q² + 4q) + 8 = 9m + 8; जहाँ m कोई पूर्णांक हैl

∴ किसी धनात्मक पूर्णांक का घन या तो  9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप में होगाl

माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, और b = 6

माना q भागफल है और r शेषफल हैl

विभाजन अल्गोरिथम का प्रयोग करने पर

हमें प्राप्त होता है: