If the pair of straight lines xy - x - y + 1 = 0 and the line ax

The orthocentre of the triangle formed by the lines x + y = 1 and 2y2 - xy - 6x2 = 0

  • 23, 23

  • 23, - 23

  • 43,  - 43


A.

43, 43

We have x + y = 1and 2y2 - xy - 6x2 = 0 2y2 - 4xy + 3xy - 6x2 = 0 Equation of sides of ABC arex + y = 1, 2y + 3x = 0 and y - 2x = 0

Solving these equations simultaneously, we get A0, 0B13, 23 and C - 2, 3Equation of altitude AD isx - y = 0      ...  iEquation of altitude CF isx + 2y = λSince, this passes through  - 2, 3 - 2 + 6 = λ  λ = 4On solving eqs. i and ii, we getx = 43, y = 43


The mid-point of the line segment joining the centroid and the orthocentre of the triangle whose vertices are (a, b),(a, c) and (d, c), is

  • 5a +d6, b + 5c6

  • `a + 5d6, 5b + c6

  • (a, 0)

  • (0, 0)


A.

5a +d6, b + 5c6

Centroid of ABC = a +a +d3, b + c + c3 2a + d3, 2c + b3Since, ABC is a, cMid point of centroid and orthocentre is= 2a + d3 + a2, 2c + b3 + c2= 5a + d6, 5c + b6


Advertisement

If the pair of straight lines xy - x - y + 1 = 0 and the line ax + 2y - 3a = 0 are concurrent, then a is equal to

  • 0

  • 1

  • - 1

  • 3


B.

1

We have,xy - x - y + 1 = 0     ...i   ax + 2y - 3a = 0     ...iiOn compairing Eqs. i with,ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0, we geta = 0, b = 0, h = 12, g = - 12,  f = - 12,  c=1The point of concurrent is hf - bgab - h2, gh - afab - h2    = 12 - 12 - 00 - 122,  - 1212 - 00 - 122 = 1, 1The point lies on equation ii, thena + 2 - 3a = 0  2a = 2                 a = 1


Advertisement

The longest distance of the point (a, 0) from the curve 2x2 + y= 2x is

  • 1 + a

  • 1 - a

  • 1 - 2a +2a2

  • 1 - 2a + 3a2


C.

1 - 2a +2a2

Given curve is2x2 + y2 = 2x2x2 - 2x + y2 = 0 2x - 122 +y2 = 12 x - 122 14 + y212 = 1which represents an ellipseHere, a = 12, b = 12, h = 12, k = 0Consider a point P(h + acosθ, k + bsinθ)= P12 + 12cosθ, 12sinθ on the ellipse from which the distanceof point (a, 0) is maximumlet Q(a, 0)Now,PQ = 12 + 12cosθ - a2 + 12sinθ - 02       = 14 + 14cos2θ + a2 + 12cosθ - acosθ - a + 12sin2θPQ = 12  + a2  - a  + 12 - acosθ + 14sin2θLet y = PQ2 = 12 + a2 - a  + 12 - acosθ + 14sin2θ

For maxima and minima, put dy = 0 - 12 - asinθ + 14 . 2sinθcosθ = 0 sinθ- 12 + a + 12cosθ = 0 sinθ = 0 or - 12 + a + 12cosθ = 0 θ = 0 or cosθ = 1 - 2a sin2θ = 1 - cos2θ                 = 1 - 1 - 2a2                 = - 4a2 + 4a

Now, d2y2 < 0 for cosθ = 1 - 2aThus, distance PQ is maximum, whencosθ = 1 - 2a and sin2θ = - 4a2 + 4aNow, required longest distance is =12 + a2 - a + 12 - a1 - 2a + 14- 4a2 + 4a= 12 + a2 - a + 12 - a - a + 2a2 - a2 + a= 2a2 - 2a + 1= 1 - 2a + 2a2


The incentre of the triangle formed by the straight lines y = 3x, y = - 3x and y = 3 is  and y = 3 is

  • (0, 2)

  • (1, 2)

  • (2, 0)

  • (2, 1)


A.

(0, 2)

a The triangle formed by the given lines is shown in the adjacent figure

Clearly, the tnangle ABC is an isosceles triangle

 The incentre he on the median to the base

 D is mid-point of BC

 OD is median to the base BC

Thus, incentre lie on Y-axis


Advertisement