कोई एक चतुर्भुज, माना ABCD, �
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कोई एक चतुर्भुज, माना ABCD, लीजिए। एक विकर्ण खींचकर, इसे दो त्रिभुओं में बाँटिए। आप छः कोण 1, 2, 3, 4, 5 और 6 प्राप्त करते हैं।
त्रिभुज के कोण-योग वाले गुणधर्म का उपयोग कीजिए और तर्क कीजिए कि कैसे angle straight A comma space angle straight B comma space angle straight C space तथ space angle straight D की मापों का योगफल 180 degree space plus space 180 degree space equals space 360 degree हो जाता है।


म ा न ा space क ि space ABCD comma space एक space चत ु र ् भ ु ज space ह ै space ज ि सक ा space एक space व ि कर ् ण space AC space ह ै।
स ् पष ् टत colon space space space angle 1 space plus space angle 4 space equals space angle straight A
तथ ा space space space space space space space angle 2 space plus space angle 5 space equals space angle straight C
हम space ज ा नत े space ह ैं space क ि space क ि स ी space त ् र ि भ ु ज space क े space त ी न ों space क ो ण ों space क ा space य ो ग space 180 degree space ह ो त ा space ह ै।
increment ABC space म ें comma space space angle 4 space plus space angle 5 space plus space angle straight B space equals space 180 degree space space space space space... space left parenthesis straight i right parenthesis
increment ACD space म े comma space space angle 1 space plus space angle 2 space plus space angle straight D space equals space 180 degree space space space space space... space left parenthesis ii right parenthesis
open parentheses angle 4 space plus space angle 5 space plus space angle straight B close parentheses space plus space open parentheses angle 1 space plus space angle 2 space plus space angle straight D close parentheses space equals space 180 degree space plus space 180 degree
rightwards double arrow space space space left parenthesis angle 1 space plus space angle 4 right parenthesis space plus space angle straight B space plus space left parenthesis angle 2 space plus space angle 5 right parenthesis space plus space angle straight D space equals space 360 degree
rightwards double arrow space space space angle straight A space plus space angle straight B space plus space angle straight C space plus space angle straight D space equals space 360 degree
space space space space space space space space space space space space space space open square brackets space because space angle 1 space plus space angle 4 space equals space angle straight A comma space space angle 2 space plus space angle 5 space equals space angle straight C space close square brackets
अत colon space क ि स ी space चत ु र ् भ ु ज space क े space च ा र ोंं space क ो ण ों space क ा space य ो ग space 360 degree space ह ो त ा space ह ै।
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किसी चतुर्भुज ABCD, की गत्ते वाली चार सर्वांगसम प्रतिलिपियाँ लीजिए जिनके कोण दर्शाए गए हैं। इन प्रतिलिपियों को इस प्रकार से व्यवस्थित कीजिए जिससे angle 1 comma space angle 2 comma space angle 3 comma space angle 4 एक ही बिंदु पर मिलें जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है। आप angle 1 comma space angle 2 comma space angle 3 space तथ ा space angle 4 के योगफल के बारे में क्या कह सकते हैं?
[ टिप्पणी: हम कोणों को angle 1 comma space angle 2 comma space angle 3 इत्यादि से तथा उनकी मापों को straight m angle 1 comma space straight m angle 2 comma space straight m angle 3 इत्यादि से दर्शाते हैं ]
एक चतुर्भुज के चारों कोणों की मापों का योगफल ______ होता है।
आप इस परिणाम पर अन्य कई तरीकों से भी पहुँच सकते हैं।


क ि स ी space चत ु र ् भ ु ज space ABCD space म ें comma
angle straight A space plus space angle straight B space plus space angle straight C space plus space angle straight D space equals space 360 degree
therefore space space space space straight m angle 1 space plus space straight m angle 2 space plus space straight m angle 3 space plus space straight m angle 4 space equals space 360 degree
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चतुर्भुज ABCD पर पुन: विचार कीजिए। माना इसके अभ्यंतर में कोई बिंदु P स्थित है। P को शीर्षों A, B, C तथा D से जोड़िए। आकृति में, increment PAB पर विचार कीजिए। हम देखते हैं कि straight X space equals space 180 degree space minus space straight m angle 2 space minus space straight m angle 3; इसी प्रकार, increment PBC, से straight y space equals space 180 degree space minus space straight m angle 4 space minus space straight m angle 5 comma space increment PCD से straight z space equals space 180 degree space minus space straight m angle 6 space minus space straight m angle 7 और इसका उपयोग करके कुल माप straight m angle 1 space plus straight m angle 2 space plus space... space plus space straight m angle 8 comma ज्ञात कीजिए। क्या यह आप को परिणाम तक पहुँचाने में सहायता करता है? याद रखिए, angle straight x space plus space angle straight y space plus space angle straight z space plus space angle straight w space equals space 360 degree है।


 क ् य ों क ि space क ि स ी space त ् र ि भ ु ज space क े space त ी न ों space क ो ण ों space क ा space य ो ग space 180 degree space ह ो त ा space ह ै।
इसल ि ए space space straight x space equals space 180 degree space minus space angle 2 space minus space angle 3 space space space space space... space left parenthesis straight i right parenthesis
space space space space space space space space space space space straight y space equals space 180 degree space minus space angle 4 space minus space angle 5 space space space space space... space left parenthesis ii right parenthesis
space space space space space space space space space space space straight z space equals space 180 degree space minus space angle 6 space minus space angle 7 space space space space space... space left parenthesis iii right parenthesis
space space space space space space space space space space straight w space equals space 180 degree space minus space angle 8 space minus space angle 1 space space space space space... space left parenthesis iv right parenthesis
left parenthesis straight i right parenthesis comma space left parenthesis ii right parenthesis comma space left parenthesis iii right parenthesis comma space तथ ा space left parenthesis iv right parenthesis space क ो space ज ो ड़न े space पर comma
straight x space plus space straight y space plus space straight z space plus space straight w space equals space 720 degree space minus space left parenthesis angle 1 plus angle 2 plus angle 3 plus angle 4 plus angle 5 plus angle 6 plus angle 7 plus angle 8 right parenthesis
परन ् त ु space space space straight x space plus space straight y space plus space straight z space plus space straight w space equals space 360 degree
therefore space space space 360 degree space equals space 720 degree space minus space left parenthesis angle 1 plus angle 2 plus angle 3 plus angle 4 plus angle 5 plus angle 6 plus angle 7 plus angle 8 right parenthesis
space space space space space space space space space space space space space equals space 720 degree space minus space left parenthesis angle straight A plus angle straight B plus angle straight C plus angle straight D right parenthesis
rightwards double arrow space space space space left parenthesis angle 1 plus angle 2 plus angle 3 plus angle 4 plus angle 5 plus angle 6 plus angle 7 plus angle 8 right parenthesis space equals space 720 degree minus 360 degree space equals space 360 degree
इसस े space हम space इस space न ि ष ् कर ् ष space पर space पह ुँ चत े space ह ैं space क ि space क ि स ी space चत ु र ् भ ु ज space क े space चर ों space क ो ण ों space क ा space य ो ग space 360 degree space ह ो त ा space ह ै।

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समान सर्वांगसम त्रिभुजों के कटे हुए भाग लीजिए जिनकी भुजाएँ हैं। इन्हें व्यवस्थित कीजिए जैसा कि आकृति में दर्शाया गया है।

आपको एक समलंब प्राप्त होता है। (निरीक्षण कीजिए)
यहाँ पर कौन सी भुजाएँ समांतर हैं? क्या असमांतर भुजाएँ बराबर माप की होनी चाहिए?
इन समान त्रिभुजों के समूह का उपयोग कर आप दो और समलंब प्राप्त कर सकते हैं। उनको ढूंढ़िए और उनकी आकृतियों कि चर्चा कीजिए।


because space space space space angle DEC space equals space angle ECB space equals space 90 degree
therefore space space space DE space parallel to space BC space space तथ ा space space DE space equals space BC space left parenthesis equals 3 cm right parenthesis
और space space EB space equals space DC space left parenthesis equals 5 cm right parenthesis
therefore space space space EBCD space एक space सम ां तर space चत ु र ् भ ु ज space ह ै।
अत colon space AB space parallel to space DC space इसल ि ए space हम space कह space सकत े space ह ैं comma space क ि space ABCD space एक space समल ं ब space ह ै।
असमांतर भुजाएँ AD और BC असमान हैं।
जैसा आकृति में दिखाया गया है, इन समान त्रिभुजों के समूह का उपयोग कर हमने दो और समलंब प्राप्त किए।
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दो समान समांतर चतुर्भुजों के कटे हुए भाग A'B'C'D' तथा लीजिए
 
यहाँ पर भुजा AB with bar on top, भुजा stack straight A apostrophe straight B apostrophe with bar on top के समान है परंतु इनके नाम अलग-अलग हैं। इसी प्रकार, दूसरी संगत भुजाएँ भी समान हैं।
stack straight A apostrophe straight B apostrophe with bar on top को DC with bar on top के ऊपर रखिए। क्या वे एक दूसरे को पूर्णतया ढकती हैं? अब आप AB with bar on top तथा DC with bar on top की लंबाई के बारे में क्या कह सकते हैं?
इसी प्रकार AD with bar on top तथा DC with bar on top की लंबाई की जाँच कीजिए। आप क्या पाते हैं?


समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर माप की होती हैं।

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